[사이언스칼럼]수학은 아름답다

윤강준 국가수리과학연구소 산업수학전략연구부 박사

윤강준 국가수리과학연구소 산업수학전략연구부 박사

수학은 증명이 논리적이고도 정확하고 엄밀하다. 그래서 수학의 증명은 아름답다. 우리는 아름다운 자연경관이나 음악을 보고 들을 때 벅찬 감동으로 다가올 때가 있다. 수학도 마찬가지로 그 증명의 완벽함을 이해했을 때 논리와 증명방법에 아름다움을 느끼고 감동을 받는다. 그런데 많은 사람은 이 주장에 의아해하고 또 동감하지 않을 수 있다. 하지만 누구라도 한 번쯤은 다른 사람의 도움 없이 스스로 문제를 풀고 그 답을 맞혔을 때 기쁨을 느낀 경험이 있을 것이다. 주어진 순금으로만 왕관을 만들었는지에 관한 문제를 해결하기 위해 골머리를 앓던 아르키메데스가 우연히 목욕을 하다가 물이 넘치는 것을 보고 물질마다 단위 질량당 물이 넘치는 양(부피)가 다른 것을 깨닫고 기쁜 나머지 '유레카'를 외치며 목욕탕을 뛰쳐나왔다는 이야기를 한 번쯤은 들어보았을 테다.

왜 우리는 수학을 통해 즐거움이나 재미를 느끼지 못하는 것일까? 이유는 간단하다. 재미나 즐거움을 느끼기 위해선 그 대상을 다룰 수 있어야만 한다. 문제를 풀기 위해선 문제가 무엇인지를 알아야 그 문제를 어떻게 풀지에 대해 고민하게 되고 그만큼 몰입하게 된다. 수학의 자질이자 효과 중의 하나는 몰입을 통한 문제 해결능력이다. 저자는 학창시절 하나의 문제를 풀기 위해서 밤을 꼬박 지새운 적이 많았다. 그 문제를 풀기까지는 다른 일들을 진행할 수가 없었으며 여러 조건의 숨겨진 의미를 파악하고 이를 이용해 해결에 다다랐을 때의 기쁨을 지금도 생생히 기억하고 있다. 조건이나 식의 의미가 무엇이고 이들을 어떻게 이용하는지를 몸으로 체득하면, 비록 한 문제를 풀었지만 하나를 통해서 열을 알게 된다. 문제의 해답에 궁금증의 해소와 더불어 그 과정에서 수학적 사고를 익히게 되는 것이다.

물은 흐르고, 겨울이 오면 눈이 내리고 봄이 오면 다시 녹으며, 바람이 불면 나뭇잎이 흔들리는 등 우리의 주위에서는 많은 것이 서로 작용하며 변화를 만들어 낸다. 그렇다면 왜 변화는 일어나는 것이며 그 변화의 정도를 어떻게 표현할까? 뉴턴은 이런 움직임(변화)에 대해 설명하고자 노력했으며 이를 위해서 움직임(속도)의 변화는 그 물체에 작용하는 힘(F)에 비례하며 물체의 질량(m)에 반비례함을 알았다. 그래서 그는 속도의 변화를 수학적으로 표현하기 위해서 미분이라는 새로운 개념을 만들었고, 속도의 변화를 속도의 미분인 가속도(a)로 나타내 움직임의 변화에 관한 운동법칙을 F=ma라는 식으로 표현했다. 변화를 미분이라는 수학적 개념으로 표기함으로써 우주선의 발사와 별들의 운행 등을 포함한 거의 모든 물리적 현상을 이렇게 간단하고도 명쾌하게 표현한 이 식은 얼마나 아름다운가!

수학에 대한 즐거움이나 재미를 느끼고 나아가 그 증명의 완벽함에서 오는 감동과 아름다움을 왜 많은 이들은 느끼지 못하고 나아가 동의조차하기 힘들까? 그 이유는 수학을 다루는 능력이나 경험이 부족하기 때문이다. 수학을 다루기 위해선 먼저 사용되는 개념이나 용어의 정의를 이해하고 기호의 사용방법을 알아야만 한다. 개념이나 용어의 의미를 모르고 또 여러 수학적 기호들을 사용하는 법을 모르는데 어떻게 이들을 이용해서 문제를 설명하고 해결할 수 있겠는가? 피카소는 자신의 생각을 그림으로 표현하기 위해서 수천 번 지루하고도 재미없는 습작작업을 반복하고 나서야 자기만의 미술세계를 개척했다. 그래서 수학을 배울 때 문제 풀이를 배우기에 앞서 수학을 구체적으로 다루는 법을 배워야 하는 이유가 여기에 있다. 추상적인 학문인 수학을 체득하기 위해선 먼저 수학을 구체적으로 다루고 사용할 줄 알아야만 한다. 이를 통해 세상을 바라보고 수학적으로 설명하는 것을 보면 완벽하게 흐르는 과정을 통해 얻어지는 기막힌 결론에 아름다움과 감동을 저절로 느끼게 될 것이다. '알면 보이고 보이면 느껴나니 그때 보이는 것은 예전과 다르리라!' 윤강준 국가수리과학연구소 산업수학전략연구부 박사