[나는야 논술 짱]

중도일보-대전광역시교육청 공동기획 고교논술

※ 다음 제시문을 읽고 아래의 논제에 답하시오.
논제1] 제시문 가] 에 나오는 이차곡선의 정의에 따라 원, 포물선, 타원, 쌍곡선을 평면위에 도형으로 나타내어 보고 도형의 방정식으로 표현하여 보아라.

논제2] 제시문 다]의 포물선의 축에 평행하게 입사된 빛이 초점으로 모이는 것과 초점에서 반사된 빛이 포물선 면에서 반사되어 축에 평행하게 나아가는 원리를 제시문나]를 참고하여 수식에 근거하여 서술하여라.

논제3] 제시문라]의 카세크레인식 망원경의 원리 중에서 포물선면으로 평행하게 입사된 빛이 초점으로 모이다가 다시 쌍곡선면을 만나서 쌍곡선의 또다른 초점으로 모일 수 밖에 없는 쌍곡선의 반사원리를 수식에 근거하여 서술하여라.

(가) 원, 포물선, 타원, 쌍곡선은 평면상에서 다음과 같이 정의하면 에 관한 이차식으로 표현되므로 이차곡선이라 한다.

1. 원 : 한 평면 위에서 한 정점(O)으로부터 같은 거리(r)에 있는 점들의 모임
2. 포물선 : 평면 위의 한 정점(F)와 한 정직선(l)으로부터 거리가 같은 점들의 모임
3. 타원 : 평면 위의 두 정점 (F, F`)으로부터 거리의 합이 일정한(2a) 점들의 모임
4. 쌍곡선 : 평면 위의 두 정점 (F, F`)으로부터 거리의 차가 일정한(2a) 점들의 모임

(나) 물이나 유리와 같은 투명한 물체에 빛을 비추면, 그 빛의 일부는 투과되거나 흡수되고 일부는 경계면에서 되돌아 나온다. 이와 같이 빛이 매질의 경계면에서 다시 처음으로 되돌아가는 현상을 빛의 반사라고 한다. 우리가 물체를 볼 수 있는 것은 빛이 물체에 반사되어 눈으로 들어오기 때문이다.

빛이 반사할 때에는 입사 광선과 반사 광선은 법선의 양쪽에 있고, 두 광선은 법선과 동일 평면상에 있다. 그리고 입사 광선이 법선과 이루는 입사각은 반사 광선과 법선이 이루는 반사각과 같다.

(다) 포물선의 초점이 있는 쪽을 거울로 해 두고, 초점 F에 광원을 두면, F에서 나오는 광선은 포물선에서 반사되어 준선에 수직으로, 즉 축에 평행하게 나아간다. 반대로 축에 평행하게 빛을 비추면 포물선 거울에서 반사되는 빛이 모두 초점 F를 통과하게 된다. 포물선의 초점 F의 위치에 광원을 두면 F에서 나오는 광선은 포물선에서 반사되어 축에 평행하게 나아간다는 성질로부터 평행광선을 만들어 낼 수 있다. 이러한 성질은 자동차의 헤드라이트를 만드는 데 이용된다.

헤드라이트의 불빛은 옆으로 분산되지 않게 곧장 앞으로 뻗어나가 멀리까지 환히 비추게 해야 한다. 그렇게 하기 위해서는 불빛을 반사시키는 포물면 모양으로 만들고 그 초점의 위치에 광원을 놓으면 된다. 그러면 포물선의 성질에 의하여 초점의 위치에서 나온 불빛은 포물면에서 반사되어 모두 그 축에 평행하게 나아가게 된다.

(라) 천문관측용 반사망원경 중 하나인 카세크레인식 망원경의 구조는 왼쪽 그림과 같이 포물선면반사경(포물경)을 주거울로, 쌍곡선면반사경(쌍곡경)을 부거울로 구성되어 있다. 빛을 모으는 포물경의 중앙에 작은 구멍을 뚫어 포물경으로 모은 빛을 초점의 조금 앞쪽에서 부거울로 포물경 방향으로 반사시켜 중앙 구멍에서 밖으로 나간 것을 접안경으로 들여다보는 방식이다.

[출제방향 및 의도]
원뿔을 꼭지점을 지나지 않는 한 평면으로 잘랐을 때 생기는 곡선인, 원, 포물선, 타원, 쌍곡선을 `원뿔곡선‘이라 한다. 원뿔곡선을 이차곡선이라 부르는 것은 원뿔곡선의 방정식이 모두 두 변수 에 대한 이차식으로 표현되기 때문이다.

천문학자인 케플러가 지구를 비롯한 행성들의 궤도가 태양을 하나의 초점으로 하는 타원임을 밝힘으로써 이차곡선의 실용성이 입증되었고, 현재에도 포물선의 성질을 이용한 안테나, 인공위성과 우주선의 궤도 등 이차곡선의 이론은 실생활과 과학에 매우 유용하게 사용되고 있다.

논제1]에서는 이러한 이차곡선의 정의를 바탕으로 이를 수식으로 표현할 수 있는 능력을 요구하였으며 논제2]에서는 이차곡선의 여러 이론 중에서 자동차의 헤드라이트에 응용되는 포물선의 반사원리를 논제3]에서는 카세크레인식 망원경에 응용되는 쌍곡선의 반사원리에 대하여 서술하도록 하였다. 반사원리를 이해한다고 해도 수식을 이용하여 논리적으로 서술하는 능력을 요구하고 있다.

[학생답안]
대전지족고등학교 2학년 안광현

[교사강평]
대전지족고등학교 이기홍

[논제 1에 대한 강평]

▲ 대전지족고등학교 이기홍

논제의 의도는 원과 포물선, 타원과 쌍곡선 모두 정의만 주어진 상황에서 도형을 그려보고 각각의 이차곡선의 도형의 방정식이 어떻게 표현되는지 그 과정을 유도하도록 하고 있다. 그러면서도 평면이 평면이라는 조건외에는 다른 조건을 주지 않아 원과 포물선, 그리고 타원과 쌍곡선을 자유롭게 생각할 수 있도록 여지를 두고있다.

학생들은 교과서에 있는 이차곡선의 표준형만을 원과 포물선, 타원과 쌍곡선의 방정식으로만 여기고 있지만 실제로 포물선과 타원등은 표준형의 평행이동 및 회전이동, 또는 좌표축의 회전 및 좌표축의 이동에 따라 다양한 형태로 나타나기도 한다.

위 학생의 글은 원과 포물선, 타원과 쌍곡선의 정의로부터 각각의 방정식의 표준형을 아주 훌륭하게 유도해 내고 있다. 처음부터 이차곡선의 방정식을 쓰고 시작한 것이 아니라 제시문에서 나오는 정의에 입각하여 차근차근 이차곡선의 방정식을 유도해 내는 과정을 잘 표현하였으며 각각의 이차곡선을 그림으로 잘 나타내고 있다. 다만 고등학교 수학II의 교육을 충실하게 받은 학생의 한계를 넘지 못하고 있는 점이 조금은 아쉬움으로 남는다.

원 방정식의 경우는 중심이 그래도 원점을 벗어나 있지만 다른 이차곡선의 경우는 거의 표준형만을 언급하고 있다. 7차 고등학교 교육과정에서는 회전이동에 대한 것은 나오지 않으므로 사선축은 언급할 필요가 없다고 하더라도 표준형을 평행이동하여 전개시킨 이차곡선의 일반형에 대한 언급과 각각의 도형의 방정식(일반형)이 지니고 있는 특징을 간략하게 언급을 하였다면 더욱 우수한 답안이 될 수 있지 않을까 한다.

[논제 2에 대한 강평]
수식을 이용하여 포물선의 반사원리를 서술하도록 요구하고 있다. 위 학생은 포물선을 좌표축에 올려놓고 도형의 방정식의 표준형으로 표현한 후, 축과 평행하게 들어오는 빛이 어째서 초점으로 모일 수 밖에 없는지를 제시문에 나오는 입사각과 반사각의 원리에 입각하여 아주 훌륭하게 설명하고 있다. 다소 수식보다는 글로 표현된 것이 많아 장황스럽게 보이는 점이 있어 간략한 수식정도는 글로 표현하는 것보다 간단하게 정리하여 표현하면 더욱 좋은 답안이 될 수 있을 것이다.

[논제 3에 대한 강평]
쌍곡선의 반사원리에 대하여 수식에 근거하여 서술하도록 요구하고 있다. 위 학생은 쌍곡선의 반사원리에 대하여 무엇을 보여야 하는지 알고 있으며 그 점을 차근차근 잘 설명하고 있다.